До последнего времени все задачи математики, физики и техники разделяли на два класса - задачи корректные, в которых малым изменениям (вариациям) коэффициентов, параметров, начальных или граничных условий соответствуют малые изменения решений, и задачи некорректные, в которых при малых вариациях коэффициентов, параметров и т.п. возможны большие изменения в решениях.
Настоящая работа посвящена исследованию недавно обнаруженного нового, третьего класса задач математики, физики и техники - задач, как бы промежуточных между корректными и некорректными, задач "перевертышей", корректность которых может меняться при эквивалентных преобразованиях, в том числе и при преобразованиях, используемых в ходе их решения.
Исследование этого класса задач, во-первых, интересно с точки зрения теории, а во-вторых - как это будет далее показано, - имеет большое практическое значение.
Поскольку на практике малые изменения коэффициентов, параметров и т.п. обычно неизбежны, то математики очень долго интересовалась только корректными задачами. Лишь в начале двадцатого века выдающийся французский математик Жак Адамар (1865-1963) обратил внимание на существование некорректных задач и начал их исследование (первую публикацию Ж. Адамара по этой тематике датируют 1902 годом [1]).
В дальнейшем выяснилось, что многие важные задачи физики и техники (в частности, задачи геофизики, сейсмической геологоразведки, некоторые задачи автоматического управления и т.п.) относятся к некорректным и в 60-х годах XX века академиком А.Н. Тихоновым, его учениками и сотрудниками были разработаны методы решения и "регуляризации" некорректных задач. Работы академика А.Н. Тихонова и его школы сыграли важную роль в развитии мировой математической науки.
Мы не будем останавливаться на методах подхода к решению некорректных задач, поскольку они подробно описаны в [1,2,3] и др. Подчеркнем лишь, что некорректные задачи требуют особых методов решения. Перед решением любой задачи желательно проверить ее корректность, поскольку если некорректную задачу решать обычными методами (пригодными для корректных задач), то почти неизбежно получатся ошибочные результаты.
Поэтому имеет важное значение обнаружение в 1990-1997 г.г. ряда задач, относящихся к третьему классу - классу задач, как бы промежуточных между корректными и некорректными, задач "перевертышей", меняющих свою корректность при эквивалентных преобразованиях математической модели - в том числе и при преобразованиях, используемых при их решении. Непредвиденная встреча с задачами третьего класса приводила (а если не исследовать внимательно третий класс, то и будет приводить) к опасным ошибкам.
Действительно, пусть исходная физическая (или техническая) задача, которую нам нужно решать - некорректна. Очень часто исходная, непосредственно вытекающая из законов физики математическая модель исследуемой задачи неудобна для исследования или громоздка и поэтому ее преобразуют к более удобному или к стандартному виду - пользуясь, разумеется, только эквивалентными преобразованиями, не изменяющими решений. (Напомним, что эквивалентными (или равносильными) называются преобразования, при которых множества решений исходной и преобразованной систем тождественны [4].) Однако эквивалентные преобразования, как будет показано далее, могут изменить корректность задачи. Пусть при преобразовании математической модели к "стандартному" виду корректность изменилась. Тогда, исследуя эту модель, мы признаем нашу задачу корректной, будем решать ее как корректную и можем получить совершенно ошибочный результат.
Именно так и происходило в известной проблеме исследования запасов устойчивости систем автоматического управления. Первичной математической моделью подобных систем, непосредственно отражающих процессы, протекающие в элементах системы и связи между элементами, являются, как правило, системы дифференциальных уравнений различных порядков. Непосредственное исследование таких систем громоздко и поэтому с появлением быстродействующей вычислительной техники стали приводить математическую модель, состоящую из уравнений различных порядков, к стандартному виду - к нормальной форме Коши, к системе */n/* уравнений первого порядка, что легко сделать введением новых переменных. Сведение к нормальной форме Коши позволяло в дальнейшем использовать единое программное обеспечение, стандартные подпрограммы, что было очень удобно. При переходе к нормальной форме Коши использовали, разумеется, только эквивалентные преобразования, поэтому все решения преобразованной модели совпадали с решениями модели исходной и поэтому расчеты устойчивости по преобразованной ("стандартной") модели давали правильный результат.
Однако постепенно стало обнаруживаться, что в расчетах запаса устойчивости часто возникают ошибки, приводящие к опасным авариям: реальная система управления обладала очень малым запасом устойчивости, а расчет по математической модели в виде нормальной формы Коши утверждал, что запас устойчивости велик и система надежна. Поэтому расчет не предупреждал об опасных авариях, неизбежных при малых запасах устойчивости (тем более что на испытаниях реального устройства выявить величину запаса устойчивости не всегда возможно)
В работах [5-10] было дано объяснение этого явления: эквивалентные (в классическом смысле) преобразования уравнений не обязаны оставлять неизменным такое свойство системы, как сохранение устойчивости при вариациях параметров и поэтому традиционные методы проверки устойчивости и запаса устойчивости не полны, не надежны, могут в особых случаях давать неверные ответы, которые в свою очередь могут быть причиной опасных аварий, В работах [5-10] предлагались усовершенствованные методы расчета сохранения устойчивости, страхующие от аварий и основанные на использовании преобразований, эквивалентных не только в классическом смысле, но и в расширенном. Серьезность заключавшихся в [5-9] предостережений о неполноте традиционных методов расчета устойчивости и возможных авариях вызвала оживленную дискуссию (частично отразившуюся в [11,12].
К настоящему времени выводы, содержащиеся в [5-10], научным сообществом признаны, хотя работа по исследованию преобразований, эквивалентных в расширенном смысле, то есть не изменяющих корректности решаемой задачи, еще далека от завершения.
Вскоре было обнаружено, что корректность может изменяться при эквивалентных (в классическом смысле) преобразованиях не только дифференциальных, но и алгебраических уравнений. В известных задачах вычисления значений параметра l, при которых существуют ненулевые решения системы линейных однородных уравнений или вычисления значений параметра, обращающих в нуль определитель полиномиальной матрицы, одним из распространенных методов является последовательные преобразования исходной системы в систему меньшего числа уравнений, а полиномиальной матрицы - в матрицу с меньшим числом строк и столбцов. При этих преобразованиях, разумеется, следят за тем, чтобы все преобразования были эквивалентными (в классическом смысле) и проверяют корректность исходной системы. До последнего времени оставалось незамеченным, что используемые преобразования могут изменить корректность решаемой задачи и тогда вариации коэффициентов промежуточной, получившейся в ходе цепочки вычислений системы (происходящие, например, из-за погрешностей округления) могут привести к грубым ошибкам в решении. Это явление рассмотрено в [12].
Таким образом, стали вырисовываться контуры весьма любопытного третьего класса задач математики, физики и техники - задач "перевертышей", способных изменять корректность при эквивалентных преобразованиях. Исследование этого важного класса еще только начато, и здесь лежат большие возможности для интересной и плодотворной научной работы.
Проявившаяся к настоящему времени практическая значимость изучения этого третьего класса задач математики, физики и техники заключается в следующем:
3. Можно легко и просто (без регуляризации) решать те задачи, некорректность которых появилась только в результате преобразований исходной математической модели.